分式上下都有平方最值怎么求最小值(20-6x)^2/9(4--查字典问答网
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  分式上下都有平方最值怎么求最小值(20-6x)^2/9(4-x^2),比如这个

  分式上下都有平方最值怎么求最小值

  (20-6x)^2/9(4-x^2),比如这个

1回答
2020-05-06 21:43
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刘振宇

  这种分子分母都有x^2的情况对于一般情形要分情况讨论:

  一般形式:(x^2+ax+b)/(mx^2+nx+t)任何形式都可以化成这种一般形式

  所谓分离常数只是最基本但必要的一步(如果没有学过导数):就是让分子出现一个系数乘以分母再加上一个x的一次项(系数可以为0)和常数项,

  上面的一般形式根据上面步奏变形:[1/m*(mx^2+nx+t)+(a-n/m)x+b-t/m]/(mx^2+nx+t)

  =1/m+[(a-n/m)x+b-t/m]/(mx^2+nx+t)

  现在要考虑上面式子最小值只需要考虑后面式子的最小值,

  这相当于求一个一般形式为(x+u)/(vx^2+px+q)的最小值

  下面把分母变化为含有分子的形式,分母=v(x+u)^2+(p-2uv)(x+u)+(q-up+vu^2)

  然后分子分母同时除以(x+u),x=-u时最后再考虑;这样得到一个式子一般形式为:1/(ax+b/x+c);这里的a、b、c不是上面的a、b、c只是一个常数,

  a不为0.

  那么就转化为求1/(ax+b/x+c)的最小值,即ax+b/x+c的最大值,(a≠0)c是一个常数但是要考虑,因为有可能就是这个c让本来前面ax+b/x最大值是个负数(或正数)加(减)成了一个正数(负数).不要小看这一个变化,由负到正或由正到负的变化经过了0,要知道这是在分母上面,所以多一个c就会麻烦一些.

  这里分情况考虑:1)::a>0,b>0;这时不存在最大值,即原分式没有最小值,但是可能有最大值,用均值不等式,这时如果c0,b

2020-05-06 21:47:08

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