一条天津高考数列题(2007•天津)在数列{an-查字典问答网
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  一条天津高考数列题(2007•天津)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.(I)求数列{an}的通项公式;(II)求数列{an}的前n项和Sn;(III)证明存在k∈N*,使得对任意n

  一条天津高考数列题

  (2007•天津)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.

  (I)求数列{an}的通项公式;

  (II)求数列{an}的前n项和Sn;

  (III)证明存在k∈N*,使得对任意n∈N*均成立.

  (Ⅰ)解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22,

  a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,

  a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.

  由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.

  以下用数学归纳法证明.

  (1)当n=1时,a1=2,等式成立.

  (2)假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k,

  那么ak+1=λa1+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k

  =[(k+1)-1]λk+1+2k+1.

  这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立.

  解法二:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ>0,

  可得,

  所以为等差数列,其公差为1,首项为0.故,所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.

  (Ⅱ)解:设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn,①

  λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1.②

  当λ≠1时,①式减去②式,

  得,

  .

  这时数列{an}的前n项和.

  当λ=1时,.这时数列{an}的前n项和.

  (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:

  ,n≥2.③

  由λ>0知an>0,要使③式成立,只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).

  因为(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n

  >4λ·(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2

  ≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2,

  所以③式成立.

  因此,存在k=1,使得对任意n∈N*均成立.

  不懂的是最后第三题

  (λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n

  >4λ·(n-1)λn+4×2n

  为什么λ^2+4下面变成了>4λ,是为什么,均值不等式吗,那为什么不是>=4λ,还有λ^2为什么变成了4了,

1回答
2020-05-06 13:17
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单来祥

  (a+b)^2>=0a^2+b^2>=2abλ^2看成a^2,4看成b^2.

2020-05-06 13:20:56

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