【已知圆o的半径为2,点P是圆o内一点,且op=根号3.过P-查字典问答网
分类选择

来自盛金辉的问题

  【已知圆o的半径为2,点P是圆o内一点,且op=根号3.过P作互相垂直的两条弦AC、BD,则四边形ABCD面积的最大值】

  已知圆o的半径为2,点P是圆o内一点,且op=根号3.过P作互相垂直的两条弦AC、BD,则四边形ABCD面积的最大值

1回答
2020-05-06 19:24
我要回答
请先登录
刘生林

  因为四边形ABCD的两条对角线AC,BD垂直,所以四边形的面积S=1/2*AC*BD.

  因此只要求AC*BD的最大值.

  过圆心O分别作AC,BD的垂线,垂足分别为F,G.易知F,G分别为AC,BD的中点,所以AF=1/2AC,BG=1/2BD.这样只需求AF*BG的最大值.

  由勾股定理:AF^2=R^2-OF^2,BG^2=R^2-OG^2,R是圆的半径.注意到OP是矩形OFPG的对角线,所以OP^2=OF^2+OG^2,因此

  AF^2*BG^2

  =(R^2-OF^2)(R^2-OG^2)(展开)

  =R^4-R^2(OF^2+OG^2)+OF^2*OG^2(由OF^2+OG^2=OP^2=3)

  =R^4-3R^2+OF^2*OG^2(1)

  注意到OF^2+OG^2为定值(OP^2=3),所以其乘积OF^2*OG^2必在OF=OG时取得最大值(用二次函数或者均值不等式容易验证).此时OF^2=OG^2=3/2,代入(1)式可得:

  AF^2*BG^2

  =R^4-3R^2+OF^2*OG^2

  =16-12+9/4

  =25/4

  从而AF*BG=5/2.再将AC=2AF,BD=2BG带回即得面积最大值为

  S=1/2*AC*BD=1/2*(4*5/2)=5.

2020-05-06 19:28:34

最新问答

推荐文章

猜你喜欢

附近的人在看

推荐阅读

拓展阅读

  • 大家都在看
  • 小编推荐
  • 猜你喜欢
  •