设a,b,c为正实数,且abc=1,求证:1/a^3(b+c-查字典问答网
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  设a,b,c为正实数,且abc=1,求证:1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)大于或等于3/2

  设a,b,c为正实数,且abc=1,求证:1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)大于或等于3/2

1回答
2020-05-06 21:50
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孙斌

  证明:

  1/[a^3(b+c)]=(bc)^3/(b+c),

  (bc)^3/(b+c)+1/4(b+c)/(bc)≥bc(均值不等式)

  (bc)^3/(b+c)≥bc-1/4(b+c)/(bc)=bc-1/4(1/c+1/b)=1/4(4bc-ab-ac),即

  1/[a^3(b+c)]≥1/4(4bc-ab-ac),同理

  1/[b^3(a+c)]≥1/4(4ac-bc-ab),

  1/[c^3(a+b)]≥1/4(4ab-ac-bc),

  上述三式相加,

  1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(a+c)]+1/[c^3(a+b)]

  ≥1/2(ab+bc+ca)≥1/2*3*(abc)^(2/3)=3/2,故命题得证.

2020-05-06 21:52:53

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