1.代入法,分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.

　　【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)

　　lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)

　　=(3-3)/(9+3+1)=0

　　【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx

　　lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx

　　=(lg1+e^0)/arccos0

　　=(0+1)/1

　　=1

　　2.倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.

　　【例3】lim[x-->1]x/(1-x)

　　∵lim[x-->1](1-x)/x=0∴lim[x-->1]x/(1-x)=∞

　　以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.

　　3.消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.

　　【例4】lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

　　lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

　　=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)

　　=lim[x-->1](x-1)/x

　　=0

　　【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)

　　lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)

　　=lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]

　　=lim[x-->-2]x(x+1)/(x-3)

　　=-2/5

　　【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)

　　lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)

　　=lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]

　　=lim[x-->1](x-2)/[(x-1)

　　=∞

　　【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h

　　lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h

　　=lim[h-->0][(x+h)–x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h

　　=lim[h-->0][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]

　　=2x^2

　　这实际上是为将来的求导数做准备.

　　4.消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.

　　【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x

　　lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x

　　=lim[x-->0][√1+x^2]-1][√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝

　　=lim[x-->0][1+x^2-1]/｛x[√1+x^2]+1]｝

　　=lim[x-->0]x/[√1+x^2]+1]

　　=0

　　【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))

　　lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))

　　=lim[x-->-8][√(1-x)-3][√(1-x)+3][4-2x^(1/3)+x^(2/3)]

　　÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)][√(1-x)+3]}

　　=lim[x-->-8](-x-8)[4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}

　　=lim[x-->-8][4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]

　　=-2

　　5.零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.

　　【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx

　　lim[x-->0]sinax/sinbx

　　=lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)

　　=1*1*a/b=a/b

　　【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx

　　lim[x-->0]sinax/tanbx

　　=lim[x-->0]sinax/sinbx*lim[x-->0]cosbx

　　=a/b

　　6.无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.

　　【例12】lim[x-->∞]sinx/x

　　∵x-->∞∴1/x是无穷小量

　　∵|sinx|∞]sinx/x=0

　　【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)

　　lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)

　　=lim[x-->∞](1-1/x^2)/(2-1/x-1/x^2)

　　=1/2

　　【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)

　　lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)

　　=lim[n-->∞][n(n+1)/2]/(2n^2-n-1)

　　=lim[n-->∞][(1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)

　　=1/4

　　【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50

　　lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50

　　=lim[x-->∞][(2x-3)/(5x+1)]^20[(3x+2)/(5x+1)]^30

　　=lim[x-->∞][(2-3/x)/(5+1/x)]^20[(3+2/x)/(5+1/x)]^30

　　=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50