【抽象函数的证明问题f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f-查字典问答网

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　　【抽象函数的证明问题f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)望大侠们赐教,不胜感激!第一条回答不正确,不过还是要感谢你的回答!第二条回答还有没有更简单一点】

　　抽象函数的证明问题

　　f(x)定义域为R,值域为R+,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,已知f(1)=1,求证:f(-x)=f(x)

　　望大侠们赐教,不胜感激!

　　第一条回答不正确,不过还是要感谢你的回答!

　　第二条回答还有没有更简单一点的方法呢?谢谢!

1回答

2020-05-08 23:21

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乔明亮

　　证明：用柯西法

　　对自然数n用归纳法可证f(nx)=nf(x)+n(n-1)x^2

　　令x=1得f(n)=n+n(n-1)=n^2,n∈N

　　令x=1/m(m∈N)得f(n/m)=nf(1/m)+n(n-1)/m^2=n/m^2+(n^2-n)/m^2=(n/m)^2

　　所以f(x)=x^2,x∈Q+

　　在f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy中令x=y=0得f(0)=0

　　令y=-x得f(x)+f(-x)=2x^2

　　设x0,所以f(x)=2x^2-f(-x)=2x^2-(-x)^2=x^2,这就证明了f(x)=x^2,x∈Q

　　又lim(y→0）[f(x+y)-f(x)]=lim(y→0)[f(y)+2xy]=f(0)=0

　　所以f(x)在R上连续

　　因此f(x)=x^2对x∈R成立

　　所以f(x)为偶函数

2020-05-08 23:23:43