已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、-查字典问答网

来自潘京的问题

　　已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（0）=0；（2）试证明f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；（3）若当x≥0时，

　　已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

　　（1）求证：f（0）=0；

　　（2）试证明f（x）是奇函数，试举出两个这样的函数；

　　（3）若当x≥0时，f（x）＜0，

　　1）试判断函数f（x）在R上的单调性，并证明之；

　　2）判断函数|f（x）|=a．所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围．

1回答

2020-05-08 06:32

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高小伟

　　（1）令x=y=0．则f（0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0

　　（2）令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x）

　　即f（-x）=-f（x）

　　故f（x）为奇函数；

　　例如：y=-2x，y=3x；

　　（3）1）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，故 f（x2-x1）＜0

　　又有题设知 f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0

　　则该函数f（x2）＜f（x1）

　　所以该函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数

　　2）由题设当x≥0时，f（x）＜0，结合上证函数是奇函数可得x＜0时，f（x）＞0

　　又由1）知函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数故知函数|f（x）|在（-∞，0]上减，在[0，+∞）上增且f（0）=0

　　故有：

　　当a＞0时，有两解；

　　当a=0时，有一解；

　　当a＜0时，无解；

2020-05-08 06:34:36