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  【定义在R上的函数f(x)满足:对任意x、y∈R都有f(x)+f(y)=f(x+y).(1)求证:函数f(x)是奇函数;(2)如果当x∈(-∞,0)时,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减】

  定义在R上的函数f(x)满足:对任意x、y∈R都有f(x)+f(y)=f( x+y).

  (1)求证:函数f(x)是奇函数;

  (2)如果当x∈(-∞,0)时,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数;

  (3)在满足条件(2)求不等式f(1-2a)+f(4-a2)>0的a的集合.

1回答
2020-05-08 07:32
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施妙和

  (1)、证明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式,

  得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.

  令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),

  得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则有

  0=f(x)+f(-x).

  即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,

  所以f(x)是奇函数.

  (2)、任取-1<x1<x2<1,则x1-x2<0,

  由题设x<0时,f(x)>0,可得f(x1-x2)>0

  f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0

  故有f(x1)>f(x2)

  所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数.

  (3)、任取x1<x2,则x1-x2<0,

  由题设x<0时,f(x)>0,可得f(x1-x2)>0

  f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0

  故有f(x1)>f(x2)

  所以f(x)在R上是单调递减函数.

  由题意可知:f(x)奇函数,f(1-2a)+f(4-a2)>0

  所以f(1-2a)>f(a2-4)

  又因为f(x)在R上是单调递减函数.

  所以1-2a<a2-4,

  解得:(−∞,−1−

  6)∪(−1+

  6,+∞)

2020-05-08 07:33:30

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