已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x-查字典问答网

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　　已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=-2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R上的单调性；（3）求f（x）在[-12，12]

　　已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=-2．

　　（1）试判定该函数的奇偶性；

　　（2）试判断该函数在R上的单调性；

　　（3）求f（x）在[-12，12]上的最大值和最小值．

1回答

2020-05-08 09:13

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冯剑

　　解　（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），

　　∴f（0）=0．

　　令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴f（x）为奇函数．

　　（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，

　　∴f（x2-x1）＜0，

　　∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，

　　即f（x2）＜f（x1），

　　∴f（x）为R上的减函数，

　　（3）∵f（x）在[-12，12]上为减函数，

　　∴f（12）最小，f（-12）最大，

　　又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=-8，

　　∴f（-12）=-f（12）=8，

　　∴f（x）在[-12，12]上的最大值是8，最小值是-8

2020-05-08 09:18:34