（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．

　　又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），

　　∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．

　　再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴f（x）为奇函数．

　　（2）∵f（-3）=a且f（x）为奇函数，

　　∴f（3）=-f（-3）=-a．

　　又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，

　　∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．

　　故f（12）=-4a．

　　（3）任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞0

　　∴f（x2）+f（-x1）＞0；

　　对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，

　　再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），

　　∴有f（x2）-f（x1）＞0

　　∴f（x2）＞f（x1）

　　∴f（x）在R上是增函数．