【已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=-查字典问答网

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　　【已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）已知f（3）=2，求f（2004）．】

　　已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．

　　（1）求证：f（x）是周期函数；

　　（2）已知f（3）=2，求f（2 004）．

1回答

2020-05-08 20:28

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李亚芬

　　（1）证明∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）

　　∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），

　　则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）

　　=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）．

　　∴f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]

　　=-f（x）．

　　∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）．

　　∴f（x）是周期函数且6是它的一个周期．

　　（2）∵f（x）是周期函数且6是它的一个周期．

　　f（2004）=f（334×6）=f（0）=-f（3）=-2．

2020-05-08 20:31:02