【已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x--查字典问答网

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　　【已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-2），且在区间[0，2]上是减函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（）A．-8B．8C．4D．-4】

　　已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-2），且在区间[0，2]上是减函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（）

　　A．-8

　　B．8

　　C．4

　　D．-4

1回答

2020-05-08 22:31

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纪杨建

　　∵f（x+2）=-f（x-2）

　　∴f（x+4）=-f（x）

　　∴f（x+8）=-f（x+4）

　　即f（x）=f（x+8）

　　∴f（x）是一个周期函数，周期为8，

　　又函数是奇函数，所以f（x）关于原点对称．

　　由f（x）在[0，2]上是减函数，可做函数图象示意图如图：

　　设x1＜x2＜x3＜x4，

　　∵f（x）关于y轴对称，结合周期性知，函数关于x=4对称

　　∴x1+x2=-4且x3+x4=12，

　　∴x1+x2+x3+x4=8，

　　故选：B．

2020-05-08 22:36:36