(本小题满分12分)已知函数f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x2，记F(x)=g(x)-f(x)（Ⅰ）判断F(x)的单调性；（Ⅱ）当a≥时，若x≥1，求证：g(x-1)≥f()；（Ⅲ）若F(x)的极值为，问是否存在实数k，使方程g(x)-f(

　　(本小题满分12分)

　　已知函数f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x2，记F(x)=g(x)-f(x)

　　（Ⅰ）判断F(x)的单调性；

　　（Ⅱ）当a≥时，若x≥1，求证：g(x-1)≥f()；

　　（Ⅲ）若F(x)的极值为，问是否存在实数k，使方程g(x)-f(1+x2)=k有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。