【1.已知x²+y²=1,定点A(1,0-查字典问答网
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  【1.已知x²+y²=1,定点A(1,0),B、C时圆上两个动点,保持A、B、C在圆上逆时针排列,且∠BOC=60°(O为坐标原点),求△ABC重心G的轨迹方程.2.过点P(-8,0),引圆C:x²+y²-2x+10y+4=0的割线,求】

  1.已知x²+y²=1,定点A(1,0),B、C时圆上两个动点,保持A、B、C在圆上逆时针排列,且∠BOC=60°(O为坐标原点),求△ABC重心G的轨迹方程.

  2.过点P(-8,0),引圆C:x²+y²-2x+10y+4=0的割线,求此圆截得的弦的中点的轨迹方程.

  3.已知圆C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1-m=0.

  (1).

  (2)设直线与圆交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;

  (3)若定点P(1,1)分弦AB为AP/PB=1/2,求此时直线的方程.

1回答
2020-05-08 22:02
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樊养余

  1、此题不好想,的确是一个难题,如果学过必修4也会好想一些,因为单位圆(就是x²+y²=1)和三角函数线是直接相关的,没学过必修4的话这道题根本就是不可解的题目(因为中间涉及三角函数的计算).解法似乎只此一种,因为不假设点的坐标的话就无从计算重心位置

  设点B的坐标(cosθ,sinθ)(0<θ<5π/3,不在这个范围内的话ABC就不是逆时针排列了,不信你画个图试试)

  则点C的坐标(cos(θ+π/3),sin(θ+π/3))

  设三角形ABC重心G(x,y)

  x=[1+cosθ+cos(θ+π/3)]/3……①

  y=[0+sinθ+sin(θ+π/3)]/3……②

  (这两个方程是由重心公式得到的,三角形的各点为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)时,其重心的坐标是((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3),这是很显然的,因为重心是三边中垂线的交点)

  ①²+②²得到(3x-1)²+(3y)²=2+2cosπ/3=3

  所以圆的轨迹方程就是(x-1/3)²+y²=1/3

  2、

  设割线交圆C于A、B两点,M为AB中点,AB就是所求的中点

  方法一:

  x²+y²-2x+10y+4=0即(x-1)²+(y+5)²=22

  ∵CM⊥PM

  ∴弦AB的中点M的轨迹是以P(-8,0)、C(1,-5)中点为圆心,|PC|长为直径的圆.

  ∴所求轨迹方程为(x+7/2)²+(y+5/2)²=53/2(圆C的内部)

  方法二:

  设M(x,y)

  则向量CM=(x-1,y+5),向量PM=(x+8,y)

  ∵向量CM⊥向量PM

  ∴向量CM点乘向量PM=0

  ∴(x-1)(x+8)+y(y+5)=0

  ∴所求轨迹方程为(x+7/2)²+(y+5/2)²=53/2(圆C的内部)

  此题不建议直接解方程组x²+y²-2x+10y+4=0……①y=k(x+8)……②,会很难以计算

  3、(2)设中点M的坐标为(x,y),连结CM,CP,

  知P(1,1)在直线l也即弦AB上.

  ∵C(0,1),P(1,1),|CM|²+|PM|²=|CP|²,

  ∴x²+(y─1)²+(x─1)²+(y─1)²=1

  整理得轨迹方程为:x²+y²─x─2y+1=0(x≠1)

  (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由AP/PB=1/2,得:(x2+2x1)/(1+2)=1……①,

  又由直线方程和圆的方程联立消去y得:(1+m²)x²─2m²x+m²─5=0(*)

  ,故x1+x2=2m²/(1+m²)……②,

  由①、②得x1=(3+m²)/(1+m²),代入(*)解得:m=±1.

  ∴直线l的方程为x─y=0或x+y─2=0.

2020-05-08 22:05:24

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