由f（x）=（ax2+x）ex，得

　　f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=[ax2+（2a+1）x+1]ex，

　　①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，

　　当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；

　　②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，

　　因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，

　　所以g（x）有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，

　　因此f（x）有极大值又有极小值．

　　若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，

　　所以f（x）在（-1，1）内有极值点，

　　故f（x）在[-1，1]上不单调．

　　若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，

　　因为g（0）=1＞0，必须满足

　　g(1)≥0g(−1)≥0