设x∈s1,且y∈s2

　　那么x-y∈s3.

　　根据已知条件,

　　因为x-y∈s3,且x∈s1

　　所以-y∈s2.

　　同理可证,-x∈s1,以及y-x∈s3

　　因此,对于任意一个集合,它的元素都是成对（一正一负）出现的.

　　容易知道,x+y∈s3,-x-y∈s3.

　　如果某个集合（如S2）中含有元素0,那么由x-0=x,知道S1和S3的元素全

　　部相同,S1=S3.

　　如果x（∈S1）,y（∈S2）都不是0,

　　那么S3中的元素x+y和x-y中必有一个的绝对值小于x和y中绝对值较大的一个（分同号和异号讨论）.

　　设|x|>|x-y|,那么取S2中的y和S3中的x-y重复使用上述规则,

　　从而得到一串绝对值递减的数列：|x|,|x-y|,|x-2y|,……

　　但是绝对值递减的整数列不能无限下去,因此必然最终得到0（无穷递降法）.

　　所以,我们证明了必然有一个集合中含有0元素.

　　从而得到结论