当n≥3为奇数时，存在合乎要求的染法；当n≥4为偶数时，不存在所述的染法．

　　每3个顶点形成一个三角形，三角形的个数为Cn3个，而颜色的三三搭配也刚好有Cn3种，所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合，即形成一一对应．

　　我们将多边形的边与对角线都称为线段．对于每一种颜色，其余的颜色形成Cn-12种搭配，所以每种颜色的线段（边或对角线）都应出现在Cn-12个三角形中，这表明在合乎要求的染法中，各种颜色的线段条数相等．所以每种颜色的线段都应当有C2

　　n

　　n＝n−12