用“可交换函数”的方法,这道题太简单了.

　　具体点？

　　设f(x,y,z)=x^8+y^8+z^8-(x^3y^2z^2+x^2y^3z^2+x^2y^2z^3)可以知道f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(z,y,x)（第二条即系将变量y与x交换，第三条即是将z与x交换），可以知道此函数为可交换函数，因此其最值与f(a)(x=y=z=a)的最值相同，而f(a)=3a^8-3a^7=3a^7(a-1)，对其求导得f‘(a)=3a^6(8a-7)=0，求得a=0或a=7/8，对于minf(a)=0或-3*7^7/8^8。因此原来式的最小值为-3*7^7/8^8，即：f(x,y,z)=x^8+y^8+z^8-(x^3y^2z^2+x^2y^3z^2+x^2y^2z^3)在对x,y,z没有任何限制时为x^8+y^8+z^8>=(x^3y^2z^2+x^2y^3z^2+x^2y^2z^3)-3*7^7/8^8。你那个式子并不正确。

　　哦，不好意思，题目抄错了。。。应该是右边x^2y^3z^3+x^3y^2z^3+x^3y^3z^2。抱歉。有可能用均值不等式证明吗？

　　当然可以啊，只不过有点长，而且要借助公式。思路如下：(1)均值不等式：x^2+y^2>=2xy。x^8+y^8+z^8>=x^2y^3z^3+x^3y^2z^3+x^3y^3z^2两边乘以2得：2x^8+2y^8+2z^8>=2x^2y^3z^3+2x^3y^2z^3+2x^3y^3z^2而：2x^8+2y^8+2z^8>=2x^4y^4+2x^4z^4+2y^4z^4>=2x^4y^2z^2+2x^2y^4z^2+2x^2y^2z^4(连用均值不等式)则只有证明：2x^4y^2z^2+2x^2y^4z^2+2x^2y^2z^4>=2x^2y^3z^3+2x^3y^2z^3+2x^3y^3z^2即证明：2x^4y^2z^2+2x^2y^4z^2+2x^2y^2z^4-2x^2y^3z^3-2x^3y^2z^3-2x^3y^3z^2>=0化简得：x^2y^2z^2(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)>=0即：x^2y^2z^2[(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2]>=0此式成立，故原式也成立，证毕！