三角不等式在△ABC中,P是△ABC的内部一点,且∠BPC=-查字典问答网

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　　三角不等式在△ABC中,P是△ABC的内部一点,且∠BPC=∠CPA=∠APB=120°,AP,BP,CP延长交BC,CA,AB于D,E,F.求证：PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).

　　三角不等式

　　在△ABC中,P是△ABC的内部一点,且∠BPC=∠CPA=∠APB=120°,AP,BP,CP延长交BC,CA,AB于D,E,F.

　　求证：PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).

1回答

2020-05-08 10:20

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郝惠娟

　　证：

　　在△PBC中,PD为角平分线,根据三角形面积公式(例如:△ABC的面积为S=AB*ACsinA/2),△PBC的面积可以表示为两种形式：

　　S=PB*PC*√3/4,

　　S=PB*PD*√3/4+PC*PD*√3/4.

　　综合此二式,得

　　PB*PC=（PB+PC)*PD.

　　由平均值不等式知

　　(PB+PC)^2/4≥PB*PC,

　　由此得

　　(PB+PC)/4≥PD.

　　同理得

　　(PC+PA)/4≥PE.

　　(PA+PB)/4≥PF.

　　合起来,得

　　(PA+PB+PC)/2≥PD+PE+PF.

　　此即

　　PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).

　　证毕.

2020-05-08 10:23:09