来自郭延文的问题
【点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)】
点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)
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2020-05-08 11:34
【点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)】
点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)
最通用的方法:
将椭圆化为参数方程:
则P:=(x,y)点满足
x=4*sint
y=sqrt7*cost(sqrt7表示:根号7)
t∈[0,2π)
然后根据距离公式代入|PM|+|PF2|,则可得到一个只含t的式子,问题转化为求这个式子的最大值问题,用一些类似均值不等式或者一元二次函数图象的性质来求解.
这个方法是万能的,对于几乎所有曲线上的点到一些定点的距离求最值都可以做.
但是这题有一个比较简单的解法,要求你对椭圆的性质和三角形的性质非常了解.
为了你能看懂,请自己作图,然后对着图来看如下证明过程:
首先你得明白,椭圆上任意一点P,均满足|PF1|+|PF2|=2a(这里2a是8)
这个是椭圆的定义.
因此:
|PM|+|PF2|=|PM|+(8-|PF1|)=|PM|-|PF1|+8.(1)
问题转化为求|PM|-|PF1|的最值;
在△PMF1中:
由三角不等式:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边
因此,当p和MF1不在同一直线上时(三点形成真正的三角形)
都有:|PM|-|PF1|