【点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点-查字典问答网
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  【点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)】

  点P在椭圆(x^2)/16+(y^2)/7=1上,左右焦点F1,F2,定点M(1,2),则PM+PF2的最大直多少?(PM,PF2都有绝对值)

1回答
2020-05-08 11:34
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鲍亮

  最通用的方法:

  将椭圆化为参数方程:

  则P:=(x,y)点满足

  x=4*sint

  y=sqrt7*cost(sqrt7表示:根号7)

  t∈[0,2π)

  然后根据距离公式代入|PM|+|PF2|,则可得到一个只含t的式子,问题转化为求这个式子的最大值问题,用一些类似均值不等式或者一元二次函数图象的性质来求解.

  这个方法是万能的,对于几乎所有曲线上的点到一些定点的距离求最值都可以做.

  但是这题有一个比较简单的解法,要求你对椭圆的性质和三角形的性质非常了解.

  为了你能看懂,请自己作图,然后对着图来看如下证明过程:

  首先你得明白,椭圆上任意一点P,均满足|PF1|+|PF2|=2a(这里2a是8)

  这个是椭圆的定义.

  因此:

  |PM|+|PF2|=|PM|+(8-|PF1|)=|PM|-|PF1|+8.(1)

  问题转化为求|PM|-|PF1|的最值;

  在△PMF1中:

  由三角不等式:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边

  因此,当p和MF1不在同一直线上时(三点形成真正的三角形)

  都有:|PM|-|PF1|

2020-05-08 11:36:53

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