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  【椭圆直线相交三角形面积已知直线y=2x+b与椭圆x^2/2+y^2/8=1相交与不同的两个A、B,定点P的坐标为(1,2)求b值,使三角形PAB的面已知直线y=2x+b与椭圆x^2/2+y^2/8=1相交与不同的两个A、B,定点P的坐标为】

  椭圆直线相交三角形面积

  已知直线y=2x+b与椭圆x^2/2+y^2/8=1相交与不同的两个A、B,定点P的坐标为(1,2)求b值,使三角形PAB的面已知直线y=2x+b与椭圆x^2/2+y^2/8=1相交与不同的两个A、B,定点P的坐标为(1,2)求b值,使三角形PAB的面积最大,并求这个最大值!用什么公式等等!

1回答
2020-05-08 20:06
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冯本明

  设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2).

  第一步:求所截线段长度.

  将y=2x+b代入椭圆方程x²/2+y²/8=1中,化简,得8x²+4x+b²-8=0

  根据韦达定理,x1+x2=-4/(2×8)=-1/4,x1x2=(b²-8)/8

  ∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(-1/4)²-4(b²-8)/8=(65-8b²)/16.①

  根据两点间距离公式,线段AB长度为

  d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²).②

  由于点A、B在直线y=2x+b上,所以y1=2x1+b,y2=2x2+b

  ∴(y2-y1)²=(2x2-2x1)²=4(x2-x1)²

  结合式①、②,线段AB长度为

  d=√(5(x2-x1)²)=√(5·((65-8b²)/16))

  第二步:求点P到直线AB距离

  利用点到直线距离公式,先将直线AB方程写为一般式:2x-y+b=0

  然后套公式,其距离h=|2·1-2+b|/√(2²+1²)=|b|/√5

  第三步:求出△PAB面积,然后求最大值

  △PAB面积=1/2·d·h=1/2·√(5·((65-8b²)/16))·|b|/√5=1/8·√((65-8b²)b²)

  =(1/(8·2√2))·√((65-8b²)8b²)

  利用均值不等式√(ab)≤(a+b)/2,当且仅当a=b取等.

  ∴√((65-8b²)8b²)≤(65-8b²+8b²)/2=65/2,

  当且仅当65-8b²=8b²,即b=±√(65/16)=±√65/4时取等.

  故△PAB面积≤(1/(8·2√2))·65/2=65√2/64,

  且当b=±√65/4时取最大值.

2020-05-08 20:06:52

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