已知椭圆的焦距为2，且过点.

　　（1）求椭圆C的方程；

　　（2）设椭圆C的左右焦点分别为，，过点的直线与椭圆C交于两点.

　　①当直线的倾斜角为时，求的长；

　　②求的内切圆的面积的最大值，并求出当的内切圆的面积取最大值时直线的方程.

　　（1）椭圆C的方程为；（2）（1）的长为；（2）当的内切圆的面积取最大值时直线的方程为.

　　试题分析：（1）由已知得，且，联立可求得椭圆方程；

　　（2）（1）联立椭圆与直线方程，由弦长公式可直接求出的长；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得，而；

　　利用均值不等式和函数单调性的性质可得当时，有最大值3，这时的内切圆面积的最大值为，直线的方程为.

　　试题解析：（1）由已知，得，且，解得，

　　故椭圆C的方程为； 4分

　　（2）①由，消去得， 6分

　　则； 9分

　　②设直线的方程为，由，得，显然，

　　设，则有，

　　设的内切圆半径为，由