设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD-查字典问答网
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  设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,△ABD,△ACD面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为()A.R^2B.3R^2C.4R^2D.2R^2晕题目选项里面都没有这个答案R^2代表的是R的平方

  设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,

  △ABD,△ACD面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为()

  A.R^2

  B.3R^2

  C.4R^2

  D.2R^2

  晕题目选项里面都没有这个答案

  R^2代表的是R的平方

1回答
2020-05-08 05:55
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任小璐

  答案选D

  首先,△ABC确定一个小圆,设其圆心H,半径为r,∠ABC=α,

  因为AB⊥AC,所以BC是小圆的直径,

  BC=2r

  AB=BCcosα=2rcosα

  AC=BCsinα=2rsinα

  连接AH并延长与球交于点P,DP的中点记为O,

  则OH为△ADP的中位线,所以OH‖AD,AD=2OH

  因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以AD⊥面ABC,所以AD⊥AP,

  所以△ADP又确定一个圆,DP是其直径,O是圆心,

  OH‖AD,AD⊥面ABC,所以OH⊥面ABC,

  所以△ADP确定的圆是大圆,O是球心,OB=R,设∠OBC=β,则

  r=OBcosβ=Rcosβ

  OH=OBsinβ=Rsinβ

  AD=2OH=2Rsinβ

  综上所述,

  AB=2rcosα=2Rcosαcosβ

  AC=2rsinα=2Rsinαcosβ

  AD=2Rsinβ

  所以

  S=S△ABC+S△ABD+S△ACD

  =0.5AB*AC+0.5AB*AD+0.5AC*AD

  =0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinαcosβ+0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinβ+0.5*2Rsinαcosβ*2Rsinβ

  =2R²cosαcos²βsinα+2R²cosαcosβsinβ+2R²sinαcosβsinβ

  =2R²[cosαsinαcos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]

  运用均值不等式cosα+sinα≥2√(cosαsinα)得

  cosαsinα≤0.25(cosα+sinα)²,所以

  S≤2R²[0.25(cosα+sinα)²cos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]

  对于cosα+sinα应该已经很熟悉了,

  cosα+sinα=√2sin(α+π/4),当α=π/4时取得最大值√2.所以

  S≤2R²[0.25(√2)²cos²β+(√2)cosβsinβ]

  =2R²[0.5cos²β+(√2)cosβsinβ]

  运用半角公式有

  S≤2R²[0.25(1+cos2β)+(√2/2)sin2β]

  =2R²[0.25+0.25cos2β+(√2/2)sin2β]

  =2R²[0.25+0.75cos(2β-φ)](tanφ=2√2)

  ≤2R²[0.25+0.75]

  =2R²

2020-05-08 05:59:00

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