由拉格朗日中值定理可以知道,

　　函数f(x)=lnx早在(x2,x1)上可导,[x2,x1]上连续,

　　则必有一ξ∈[x2,x1]使得f'(ξ)=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)

　　而f'(x)=1/x,

　　所以

　　[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=f'(ξ)=1/ξ,而ξ∈[x2,x1]

　　而x1>x2>0

　　所以x1^2+x2^2>2x1*x2

　　2x2/(x1^2+x2^2)1/x1>2x2/(x1^2+x2^2)

　　故命题得证,

　　[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>2x2/(x1^2+x2^2)