中位线与2条边的交点是所在的中点

　　1.中位线概念：

　　(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

　　(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

　　注意：

　　(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．

　　(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．

　　(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．

　　2.中位线定理：

　　(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

　　(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半．

　　中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

　　例1如图2-53所示．△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积．

　　分析由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．

　　解由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以

　　由条件AD+EF=12(厘米)得

　　EF=4(厘米),

　　从而AD=8(厘米),

　　由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以

　　BC=2EG=2×6=12(厘米),

　　显然,AD是BC上的高,所以

　　例2如图2-54所示．△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H．

　　(1)求证：GH‖BC；

　　(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH．

　　分析若延长AG,设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点；同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH‖BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度．

　　(1)证分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以

　　△ABG≌△MBG(ASA)．

　　从而,G是AM的中点．同理可证

　　△ACH≌△NCH(ASA),

　　从而,H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线,从而,HG‖MN,即

　　HG‖BC．

　　(2)解由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以

　　AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米．

　　又BC=18厘米,所以

　　BN=BC-CN=18-14=4(厘米),

　　MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

　　从而

　　MN=18-4-9=5(厘米),

　　说明(1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”．

　　(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．

　　(3)从本题的证明过程中,我们得到启发：若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证．

　　例3如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,QA的中点．求证：A′C′=B′D′．

　　分析由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点．

　　证连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,这四条线段依次是△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位线．从而

　　A′B′‖AB,B′C′‖PQ,

　　C′D′‖AB,D′A′‖PQ,

　　所以,A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四边形,所以

　　AB⊥BC,BC‖PQ．

　　从而

　　AB⊥PQ,

　　所以A′B′⊥B′C′,

　　所以四边形A′B′C′D′是矩形,所以

　　A′C′=B′D′．①

　　说明在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．

　　例4如图2-58所示．在四边形ABCD中,CD＞AB,E,F分别是AC,BD的中点．求证：

　　分析在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取AD中点．

　　证取AD中点G,连接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位线(已知E是AC的中点),所以

　　同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是△ABD的中位线,所以

　　在△EFG中,

　　EF＞EG-FG．③

　　由①,②,③

　　例5如图2-59所示．梯形ABCD中,AB‖CD,E为BC的中点,AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．

　　分析本题等价于证明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°．

　　在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下,添梯形的中位线作为辅助线,若能证明,该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半,则问题获解．

　　证取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以

　　因为