有很多方法,

　　若证明直角三角形全等,找互余的角

　　若是等腰三角形,找等角活等边

　　还有很多,不一一介绍

　　在中学教材中,关于三角形全等有以下判定公理：

　　(1)边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．

　　(2)角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)．

　　推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)．

　　(3)边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)．

　　关于直角三角形有：

　　(4)斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)．

　　利用全等三角形,我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质,在本讲中将直接利用这些性质．

　　借助于全等三角形的知识,我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题．

　　例1如图2-1所示．∠1=∠2,∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．

　　分析用全等三角形证明线段(或角)相等,最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的全等三角形之中．本题的AB,DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．

　　证由已知,∠1=∠2,

　　∠ABC=∠DCB,而

　　∠EBC=∠ABC-∠1,

　　∠ECB=∠DCB-∠2,

　　所以∠EBC=∠ECB．在

　　△ABC及△BCD中,

　　∠ABC=∠BCD,

　　∠EBC=∠ECB,BC=BC,

　　所以△ABC≌△DCB(ASA),

　　所以AB=CD．

　　说明线段AB,CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE,因此也可直接证明这两个三角形全等．

　　例2如图2-2所示．△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．

　　分析从图形看,GE,GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件,结合已知添加辅助线,构造全等三角形．方法不止一种,下面证法是其中之一．

　　证过E作EF‖AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中,∠BGD=∠EGF(对顶角),①

　　∠B=∠F(两直线平行内错角相等)．②

　　又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F,所以,△ECF是等腰三角形,从而EC=EF．又因为EC=BD,所以

　　BD=EF．③

　　由①,②,③

　　△GBD≌△GEF(AAS),

　　所以GD=GE．

　　说明适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种,本题至少还有以下两种方法：

　　(1)过D作DF‖AC,交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．

　　(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H,可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．

　　做完一道题后,再想一想还有没有其他证明方法,比较一下哪种证法更好,这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的．

　　例3如图2-5所示．在等边三角形ABC中,AE=CD,AD,BE交于P点,BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．

　　分析首先看到BP,PQ在Rt△BPQ之中,只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而,∠BPQ是△ABP的一个外角,所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°,若能证明∠PBA=∠PAC,问题即能解决,这两个角分别在△ABE与△CAD中,可以证明这两个三角形全等．

　　证在△ABE与△CAD中,

　　∠EAB=∠DCA=60°,AB=CA,AE=CD,

　　所以

　　△ABE≌△CAD(SAS),

　　所以∠ABE=∠CAD．

　　由于∠BPQ是△ABP的外角,所以

　　∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．

　　在Rt△BQP中,∠BPQ=60°,∠PBQ=30°,所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于斜边的一半)．

　　说明发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键,为此,我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手,逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后,进而把注意力集中到△ABE与△CAD中,这里,可适当利用几何直观感觉,启发我们寻找有希望全等的三角形,例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角,但只需观察即可知,这两个三角形无望全等．

　　例4如图2-6所示．∠A=90°,AB=AC,M是AC边的中点,AD⊥BM交BC于D,交BM于E．求证：

　　∠AMB=∠DMC．

　　分析1从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等,但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素,形成全等三角形,这是理想不过的事．由于∠C=45°,∠A=90°,若作∠A的平分线AG,则在△AGM中,∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知,但在分析中可以“当作已知”来考虑,以便寻找思路),我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等!为此,只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA．

　　证法1作∠BAC的平分线AG,交BM于G．在△AGB与△CDA中,因为

　　AB=CA,∠BAG=∠ACD=45°,

　　∠ABG=90°-∠AMB,①

　　∠MAD=90°-∠EAB．②

　　由于,在Rt△MAB中,AE⊥BM,所以∠AMB=∠EAB．由①,②,∠ABG=∠MAD,所以

　　△AGB≌△ADC(ASA),

　　于是AG=CD．

　　在△AMG与△CMD中,还有

　　AM=MC,∠GAM=∠DCM=45°,

　　所以△AMG≌△CMD,

　　从而∠AMB=∠DMC．

　　分析2如图2-7所示．注意到在Rt△ABM中,由AE⊥BM得到∠MAE=∠MBA,若延长AE,过C作CF⊥