费马点的研究与应用

　　一、研究动机

　　未来21世纪高雄将跟上首都台北的脚步---兴建捷运系统,将海都高雄完全发展成最先进的都会区.高雄捷运跟台北不一样,采地下化建筑,其中红线与橘线基本路网已经规划好,听爸爸说,不管是哪一路线都需建捷运主机厂,主机厂对於捷运相当於心脏对於人类,於是便想：是否能找到一个位置到各捷运站的的距离和为最小,以方便控制?

　　又从文献上得知在三角形中有一点到三顶点距离和为最小,称为「费马点」,於是即以此为出发点,对费马点的性质来进行一系列的探讨与研究.

　　二、研究目的

　　（一）以数学方法证明费马点的存在及其特性.

　　（二）运用物理学方法探讨费马点之相关理论.

　　（三）求作直角座标系中的费马点验证物理实验结果.

　　（四）探讨费马点在生活中的应用实例.

　　三、研究设备器材

　　滑轮、木条、棉线、黏土块、方格纸、量角器.

　　四、研究过程

　　(一)以数学方法证明费马点的存在及其特性：

　　Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作法及证明,我把文献上找到的一一列於附件说明,另外我也试著做做看是否有其他的方式可以求出费马点：

　　1.费马点之求法（参考图一）.

　　(1)做一三内角均小於120°之△ABC.

　　(2)以,为一边,分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE.

　　(3)连接,交於P点,则P点即为所求.

　　2.费马点的性质：L=++为最小值.

　　～首先证明由上述作法做的费马点存在-----

　　ㄅ.（参考图二）旋转△BPC,

　　使与重合（=）,

　　P点落在H处

　　则∠BPC=∠BHG=120°

　　ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）

　　∴∠BHG+∠BHP=180°

　　故A,P,H,G三点共线

　　ㄇ.∵△BHG△BPC

　　得=,=

　　∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3

　　∴∠1+∠2=60°=∠PBH

　　因此△BPH为正△,得=

　　知存在一点P使得++=++=

　　～再来证明所求出的点至三顶点距离最小

　　ㄅ.（参考图三）在ABC内另取一点Q异於P,

　　连接、、

　　ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得++=++

　　ㄇ.

　　故P点使++为最小值

　　Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部,那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形,是否能找到一点至三顶点距离和最短?（参考图四）

　　(1)△ABC的∠A＞120°,P为△ABC内部任一点

　　延长至B',使=

　　做∠B'AP'=∠BAP,取=

　　故△B'AP'△BAP,得=.

　　於是++=++,

　　(2)但因∠A＞120°,故∠B'AB＜60°,

　　亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP

　　中∠AP'P＞60°,故＞

　　则++＞++＞+,即++＞+

　　亦即：如果有一点P与A重合,则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点.

　　(3)证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°,则费马点即为该内角的顶点.

　　Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点,但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ!也就是如果改变形状后是否能找到一点P点,使得P点至顶点距离和最小,我们以下就最简单的四边形先做讨论（参考图五）.

　　(1)已知：四边形ABCD

　　求作：ABCD内的P点

　　做法：在四边形ABCD中

　　∵对角线为直线

　　∴对角线为A、C之间的最小距离

　　同理对角线为B、D之间的最小距离

　　发现：、之交点P为四边形ABCD内之一点使得+++为最小值

　　即P点至四边形四个顶点距离和最小

　　(2)证明：（参考图六）

　　在四边形ABCD内另取一点P'异於P

　　连接、、、

　　△P'BD、△AP'C中

　　+＞且+＞（任两边和大於第三边）

　　∴+++＞+=+++

　　故P点使+++为最小值

　　(二)运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之

　　母』,那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ?参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：

　　1.实验一：从三力平衡证明费马点的性质－、、所夹的三个角必为120°.

　　(1)以木条为边组装正三角形,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,另一端连在一起代表P点.

　　(2)让重物自然垂下到达静止状态,量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）.

　　(3)因为三重物重量相等,三条线的张力亦相同,即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的「封闭三角形（参考图B）」为正三角形,亦即该力图之三力所夹的三个角

　　皆为120°.

　　(4)将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和（三）求出之P点一次函数,以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合.

　　(5)重复以上步骤5次,并改变三角形的形状重复操作.

　　2.实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性.

　　(1)以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,由实验一已知P点为费马点.

　　(2)於P点（费马点）悬挂一黏土块W,让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C）,量测此时P点与水平面之垂直距离,分别作三次后取平均值,高度为hP.

　　(3)将P点任意移向三边、、上任意点,然后将重物放开,发现不论在任何边上,均会趋向费马点.根据「物体会自由趋向能量最低点」的原理,可证明费马点具有最低的位能.

　　(4)将步骤(3)之实验过程分别纪录得到位能高度h'（三次平均值）、、（代表从点释放后的状况,依此类推）、、、、（数据说明在表二）.

　　(5)重复以上步骤3次,并改变