设函数f(x)在（-∞,+∞)内有定义,且对任意的实数x和y-查字典问答网

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　　设函数f(x)在（-∞,+∞)内有定义,且对任意的实数x和y,满足f(x+y)=f(y)e^x+f(x)e^y,又已知f'(0)=e.求f'(x)的表达式.

　　设函数f(x)在（-∞,+∞)内有定义,且对任意的实数x和y,满足f(x+y)=f(y)e^x+f(x)e^y,又已知f'(0)=e.

　　求f'(x)的表达式.

1回答

2020-05-12 22:04

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苏卫强

　　令x=y=0,得f(0)=0.由倒数的定义得

　　f'(x)=lim(y趋向于0)[f(x+y)-f(x)]/y

　　=lim(y趋向于0)[f(y)e^x+f(x)e^y-f(x)]/y

　　=lim(y趋向于0)[f(y)e^x]/y+lim(y趋向于0)[(e^y-1)f(x)]/y

　　=lim(y趋向于0){e^x[f(y)-f(0)]}/y+f(x)

　　=f'(x)e^x+f(x)

　　=e^(x+1)+f(x)

　　即f'(x)-f(x)=e^(x+1),由通解公式得

　　f(x)=xe^(x+1)+Ce^x.又f(0)=0,可得C=0.

　　故f(x)=xe^(x+1).所以f'(x)=(x+1)e^(x+1).

2020-05-12 22:09:06

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