1.在f(x)=ax²+bx+c中取x=0得c=f(0)=0,故f(x)=ax²+bx.

　　于是f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-(ax²+bx)=a((x+1)²-x²)+b=a(2x+1)+b=2ax+(a+b).

　　而由条件f(x+1)-f(x)=x+1,得x+1=2ax+(a+b),即(2a-1)x+(a+b-1)=0.

　　因为对任意x都成立,有2a-1=0,a+b-1=0,解得a=b=1/2.

　　因此f(x)=1/2·x²+1/2·x=x(x+1)/2.

　　2.代入y=0得g(x)=g(x)g(0)+f(x)f(0)=g(x)g(0).

　　若g(x)恒等于0,有0=g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)=f(x)f(y).

　　但代入x=y=1得0=1,矛盾.因此存在a使g(a)≠0.

　　于是由g(a)=g(a)g(0)得g(0)=1.

　　代入x=y=1得1=g(0)=g(1)²+f(-1)²=g(1)²+1,即g(1)²=0,故g(1)=0.

　　代入x=0,y=1得g(-1)=g(0)g(1)+f(0)f(1)=0.

　　代入y=-1得g(x+1)=g(x)g(-1)+f(x)f(-1)=-f(x),即有g(x)=-f(x-1).

　　代入y=1得g(x-1)=g(x)g(1)+f(x)f(1)=f(x),即有g(x-2)=f(x-1).

　　于是g(x)=-g(x-2).

　　代入x=2得g(2)=-g(0)=-1,而代入x=3得g(3)=-g(1)=0.

　　因此g(1)=0,g(2)=-1,g(3)=0.

　　注:实际上g(x)=cos(πx/2),f(x)=sin(πx/2)是一组满足条件的函数.