(1)联立y=x+b与y=x^2+bx+c

　　∴x+b=x^2+bx+c

　　x^2+(b-1)x+c-b=0

　　又∵f(1)=0,∴代入f(x)=x^2+bx+c,得b=-c

　　∴x^2+(b-1)x-2b=0

　　∵该一次函数图像和二次函数图像相切

　　∴两图像只有一个公共点

　　∴Δ=0,即(b-1)^2+8b=0

　　∴b1=-3+2√(根号)2,b2=-3-2√2

　　∵b>-2

　　∴b=-3+2√2

　　∴f(x)=x^2+(2√2-3)x+3-2√2

　　(2)x∈[2,5]时,f(x)≥(m+1)x^2-2(m∈R)恒成立

　　∴m+1>0时,即m>-1时,

　　设g(x)=(m+1)x^2-2,∴g(x)开口向上,

　　∴只需：f(2)>g(2),f(5)>g(5)即可（观察图像就知道）

　　∴（化简）2√2+1>4(m+1)-2

　　8√2+13>25(m+1)-2

　　解得m∈(-1,(8√2-10)/25)

　　m+1