【已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y)-查字典问答网
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来自黄树槐的问题

  【已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)>0,f(1)=2,若f[(4的x次方)-a]+f[6+(2的x+1)]>6对任意x恒成立,求实数a的取值范围】

  已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)>0,f(1)=2,若f[(4的x次方)-a]+f[6+(2的x+1)]>6对任意x恒成立,求实数a的取值范围

3回答
2020-05-12 14:10
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邓伟平

  答:

  f(x+y)=f(x)+f(y)

  f(1)=2

  所以:f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6

  令x=y=0得:f(0)=2f(0),f(0)=0

  令x-y>0,即x>y,则f(x-y)>0

  所以:f(x-y)=f(x)+f(-y)>0

  令x+y=0,y=-x,f(x+y)=f(x)+f(-x)=0

  所以:f(-x)=-f(x)

  所以:f(x)是奇函数

  因为:

  f[(4的x次方)-a]+f[6+(2的x+1)]>6

  所以:

  f[4^x-a+6+2^(x+1)]>f(3)恒成立

  所以:

  f(4^x+2×2^x+6-a)-f(3)>0

  f(4^x+2×2^x+6-a)+f(-3)>0

  f(4^x+2×2^x+6-a-3)>0

  所以:4^x+2×2^x+3-a>0恒成立

  设t=2^x>0,则t²+2t+1>a-2恒成立

  所以:(t+1)²>1>=a-2恒成立

  解得:a

2020-05-12 14:14:47
黄树槐

  聪明

2020-05-12 14:18:04
邓伟平

  客气了

2020-05-12 14:22:56

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