【设函数y=f(x),对任意实数x,都有f(x+y)=f(x-查字典问答网

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　　【设函数y=f(x),对任意实数x,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.（一)求f(0)的值；(二)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值（四）在（二）的条件下,猜想f（n）（n属于N正）的表达式,并用数学归纳法加以证明】

　　设函数y=f(x),对任意实数x,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.（一)求f(0)的值；(二)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值（四）在（二）的条件下,猜想f（n）（n属于N正）的表达式,并用数学归纳法加以证明

1回答

2020-05-12 16:40

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吕军

　　1.==>x=0y=0f(0+0)=f(0)+f(0)+20*0=f(0)=2f(0)==>f(0)=0

　　2.f(2)=f(1)+f(1)+2*1*1=1+1+2=4

　　f(3)=f(2)+f(1)+2*2*1=4+1+4=9

　　f(4)=f(3)+f(1)+2*3*1=9+1+6=16

　　4.f(n)=n^2

　　（1）当n=1时f(1)=n^2=1命题成立

　　（2）假设当n=k（k≥n0,k为自然数）时命题成立即f(k)=k^2

　　f(k+1)=f(k)+f(1)+2*k*1=k^2+2k+1=(k+1)^2命题成立

　　综合（1）（2）,对一切自然数n（≥1）,命题f(n)都成立.

2020-05-12 16:44:11