设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线y=f（x）在原点（0,0）处的切线方程为y=0,且经过点（e-1,e^2-e+1）(1)求y=f（x）表达式,并证明：当x》0时,g（x）》0(2)若当x》0时,f（x
设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线
y=f（x）在原点（0,0）处的切线方程为y=0,且经过点（e-1,e^2-e+1）
(1)求y=f（x）表达式,并证明：当x》0时,g（x）》0
(2)若当x》0时,f（x）》mx^2恒成立,求实数m的取值范围
(1)f(x)=a(x+1)²ln(x+1)+bx
f'(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b
f'(0)=a+b=0
得a=-b
f(x)经过点（e-1,e^2-e+1）
则e²-e+1=ae²+b(e-1)
=a(e²-e+1)
得a=1,b=-1
f(x)=(x+1)²ln(x+1)-x
g(x)=(x+1)ln(x+1)-x
g'(x)=ln(x+1)+1-1=ln(x+1)
当x>0时g'(x)>0 g(x)单调增
g(0)=0 则x>0时g(x)≥0
(2)t(x)=f(x)-mx²≥0
t(0)=0
f'(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b-2mx
回答
t'(x)=2(x+1)ln(x+1)+(x+1)-1-2mx
=2(x+1)[1+ln(x+1)]-1-2mx
≥2(x+1)-1-2mx (x≥0)
=(2-m)x-1>0 (说明：t'(x)>0 t(x)为单调增,t(0)=0 则当x≥0时t(x)≥0成立）
即(2-m)x>1
当2-m>0时x≥0
故m<2
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