已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R都有f(x+y)=f-查字典问答网

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　　已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x＞0时,f(x)>2(1)求f(0)的值,并证明：当x＜0时,1＜f(x)

　　已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)

　　已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x＞0时,f(x)>2

　　(1)求f(0)的值,并证明：当x＜0时,1＜f(x)

1回答

2020-05-12 14:59

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阮俊毅

　　(1)令x=y=0

　　f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2变为

　　f(0)=f(0)^2-2f(0)+2

　　f(0)^2-3f(0)+2=0

　　(f(0)-1)(f(0)-2)=0

　　f(0)=1或f(0)=2

　　因为x>0时,f(x)>2

　　令x>0y=0

　　f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2变为

　　f(x)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2

　　若f(0)=1,则

　　f(x)=f(x)-f(x)-1+2得到f(x)=1不满足条件,

　　所以f(0)=2

　　(2)令y=-x且x0

　　所以f(y)=f(-x)>2

　　f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2变为

　　f(0)=f(x)*f(-x)-f(x)-f(-x)+2

　　f(x)*f(-x)-f(x)-f(-x)=0

　　f(-x)=f(x)/[f(-x)-1]>2

　　f(x)/[f(-x)-1]-2>0

　　[f(x)-2f(x)+2]/[f(x)-1]>0

　　[f(x)-2]/[f(x)-1]

2020-05-12 15:00:31