以下(mod..)之前的等号表示同余符号

　　5^0=1(mod31)

　　5^1=5(mod31)

　　5^2=25(mod31)

　　5^3=125=1(mod31)

　　所以5模31的阶为3

　　5^30+30=0(mod31)

　　设下一个比30大的满足条件的正整数N=30+k,k>=1

　　5^(30+k)+30+k=5^k+k-1=0(mod31)

　　当k=0(mod3)时

　　5^k+k-1=1+k-1=k=0(mod31)

　　k最小为3*31=93

　　当k=1(mod3)时

　　5^k+k-1=5+k-1=k+4=0(mod31)

　　k=27(mod31)

　　由中国剩余定理可求得k=58(mod93)

　　所以k最小为58

　　当k=2(mod3)时

　　5^k+k-1=25+k-1=k+24=0(mod31)

　　k=7(mod31)

　　由中国剩余定理可求得k=38(mod93)

　　所以k最小为38

　　综上所述k最小为38

　　所以下一个比30大的满足条件的正整数N=30+k=68