已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f-查字典问答网

来自高玉之的问题

　　已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1(1)求f(t)的表达式？(2)F(t)≥m恒等成立，求m的取值范围

　　已知函数f(t)对任意实数x、y有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy,且f(1)=1

　　(1)求f(t)的表达式？

　　(2)F(t)≥m恒等成立，求m的取值范围

1回答

2020-05-12 13:45

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崔国立

　　(1)设y=1,代入f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy得

　　f(x+1)=f(x)+f(1)+3x

　　f(x+1)-f(x)=f(1)+3x

　　令x=1,2,...,n-1得

　　f(2)-f(1)=f(1)+3*1

　　f(3)-f(2)=f(1)+3*2

　　...

　　f(n)-f(n-1)=f(1)+3*(n-1)

　　将上面各式相加得

　　f(n)-f(1)=(n-1)f(1)+3*n(n-1)/2

　　由f(1)=1得

　　f(n)=nf(1)+3*n(n-1)/2=n(3n-1)/2

　　即f(x)=x(3x-1)/2

　　(2)f(t)=t(3t-1)/2≥m恒成立,故判别式

　　3t^2-t-2m

2020-05-12 13:47:52