开普勒第一定律的证明

　　设太阳与行星质量分别M和m,取平面极作标系,行星位置用（r,α）来描述.如图行星位置矢量是垂直单位矢量.

　　行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°

　　首先证明行星一定在同一平面内运动,有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)

　　力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0.

　　d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0.

　　积分,得r×v=h(常矢量)

　　上式表明,行星径矢r始终与常矢量h正交,故行星一定在同一平面内运动.

　　为了得出行星运动的轨迹,采用图中平面极坐标方向

　　,取静止的太阳为极点o,行星位置为(r,α).在平面

　　极坐标中,行星运动有关物理量如下：

　　径行r=r·r°；速度v=dr/dt=(dr/dt)·r°+r·(dα/dt)·α°

　　r°是径向单位矢量,α°为径向垂直单位矢量.

　　dr/dt是径向速度分量,r·(dα/dt)是横向速度分量

　　速度大小满足v²=(dr/dt)²+(r·(dα/dt))²

　　动量mv=m(dr/dt)+m(r·(dα/dt))

　　角动量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)

　　得L=m•r²•(dα/dt)

　　行星所受的太阳引力指向o点,故对o点力矩M=0,由角动量定理,知角动量守恒.L为常量

　　太阳行星系统的机界能守恒,设系统总能量为E,则

　　E=½mv²-GMm/r

　　因α/dt=L/mv²dr/dt=(L/mv²)(dr/dα)代入上式

　　(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+L²/m²r=2E/m+2GM/r

　　上边两式同乘m²/L²,得

　　dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r

　　为了简化式子,令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)

　　于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²

　　上式对α求导.并注意E与L为常量.得

　　2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα)

　　-GMm/L²(dρ/dα)=0

　　在通过数学推导便得出开普勒第一定律.