在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

　　正弦定理(Sine theorem)　

　　（1）已知三角形的两角与一边,解三角形

　　（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形

　　（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

　　直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦.

　　证明

　　步骤1

　　在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到 a/sinA=b/sinB

　　同理,在△ABC中,b/sinB=c/sinC

　　步骤2.

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D.

　　连接DA.

　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠ACB.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式.

　　余弦定理的证明：

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac