原理

　　一、知识要点

　　抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理.

　　把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果.这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现.用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题.

　　原理1：把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素.

　　原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合,则一定有一个集合呈至少要有k个元素.

　　其中k＝（当n能整除m时）

　　〔〕＋1（当n不能整除m时）

　　（〔〕表示不大于的最大整数,即的整数部分）

　　原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素.

　　二、应用抽屉原理解题的步骤

　　第一步：分析题意.分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”.

　　第二步：制造抽屉.这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉.根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路.

　　第三步：运用抽屉原理.观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决.

　　例1、教室里有5名学生正在做作业,今天只有数学、英语、语文、地理四科作业

　　求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业.

　　证明：将5名学生看作5个苹果

　　将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉,共4个抽屉

　　由抽屉原理1,一定存在一个抽屉,在这个抽屉里至少有2个苹果.

　　即至少有两名学生在做同一科的作业.

　　例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?

　　把3种颜色看作3个抽屉

　　若要符合题意,则小球的数目必须大于3

　　大于3的最小数字是4

　　故至少取出4个小球才能符合要求

　　答：最少要取出4个球.

　　例3、班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书.

　　把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果

　　根据原理1,书的数目要比学生的人数多

　　即书至少需要50+1=51本

　　答：最少需要51本.

　　例4、在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米.

　　把这条小路分成每段1米长,共100段

　　每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果

　　于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果

　　即至少有一段有两棵或两棵以上的树

　　例5、11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本

　　试证明：必有两个学生所借的书的类型相同

　　证明：若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种

　　若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种

　　共有10种类型

　　把这10种类型看作10个“抽屉”

　　把11个学生看作11个“苹果”

　　如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉

　　由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同

　　例6、有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜

　　试证明：一定有两个运动员积分相同

　　证明：设每胜一局得一分

　　由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能

　　以这49种可能得分的情况为49个抽屉

　　现有50名运动员得分

　　则一定有两名运动员得分相同

　　例7、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?

　　解题关键：利用抽屉原理2.

　　根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种：

　　｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝

　　以这9种配组方式制造9个抽屉

　　将这50个同学看作苹果

　　＝5.5……5

　　由抽屉原理2k＝〔〕＋1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的答案补充那你不抄例子,就看前面重要的答案补充那你去看整除里面的题目,需要用抽屉原理的,保证你一眼看不出来