【高等数学(复变函数)设Z1,Z2,Z3三点适合条件:Z1+-查字典问答网
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  【高等数学(复变函数)设Z1,Z2,Z3三点适合条件:Z1+Z2+Z3=0及|Z1|=|Z2|=|Z3|=1试证明Z1.Z2.Z3是内接于单位圆周|Z|=1的正三角形的顶点.答案要准确详细!最好是自己做出来的,做的好的加分!麻烦大家用大】

  高等数学(复变函数)

  设Z1,Z2,Z3三点适合条件:Z1+Z2+Z3=0及|Z1|=|Z2|=|Z3|=1试证明Z1.Z2.Z3是内接于单位圆周|Z|=1的正三角形的顶点.

  答案要准确详细!最好是自己做出来的,做的好的加分!

  麻烦大家用大学知识解题,谢谢!

1回答
2020-05-14 21:27
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冯乔生

  我有一个纯复数的方法,晚上来写

  ----------------------------------------------------------------------

  关键两点:

  1、共扼复数的运用技巧,实现纯复数推理,而不借重于几何直观或者解析几何化.以下我们用Z'表示Z的共扼复数.

  2、单位圆上的三个不同的复数点均布的判据,用复数表示:

  判据1:Z₁/Z₂=Z₂/Z₃=Z₃/Z₁

  判据2:满足同一个分圆方程:Z³=c,其中|c|=1

  已知:Z₁+Z₂+Z₃=0--------------------------------------------(1)

  Z₁Z'₁=Z₂Z'₂=Z₃Z'₃=1------------------------------------------(2)

  (2)就表示Z₁,Z₂,Z₃在单位圆上,因单位圆上复数与其共扼复数互为倒数.所以判据1也可以写为Z₁Z'₂=Z₂Z'₃=Z₃Z'₁

  证明:由(1)取共扼复数得

  Z'₁+Z'₂+Z'₃=0----------------------------------------------(1')

  (1)×Z'₂得Z₁Z'₂+Z'₂Z₃+1=0-----------------------------------(3)

  (1')×Z₃得Z'₁Z₃+Z'₂Z₃+1=0-----------------------------------(4)

  比较(3)和(4)式得Z₁Z'₂=Z₃Z'₁------------------------------------(5)

  轮换对称地可得Z₃Z'₁=Z₂Z'₃

  易知Z₁,Z₂,Z₃不全相等,那么按判据1可知它们在单位圆上均布.

  又:由(5)式可得Z²₁=Z₂Z₃,故Z³₁=Z₁Z₂Z₃

  令c=Z₁Z₂Z₃,即Z₁满足方程Z³=c

  对称地,Z₂和Z₃亦满足方程Z³=c

  故亦可按判据2断定Z₁,Z₂,Z₃在单位圆上均布.

  要说大学知识,就算这分圆方程了(高中没学)

2020-05-14 21:28:14

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