第一章函数及其图形

　　例1：（）.

　　A.B.C.D.

　　例2：函数的定义域为（）.

　　即应选C.

　　例3：下列各组函数中,表示相同函数的是（）

　　A中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当|x|>1时,两函数取得不同的值.

　　B中的函数是相同的.因为对一切实数x都成立,故应选B.

　　C中的两个函数是不同的.因为的定义域为x≠-1,而y=x的定义域为（-∞,+∞）.

　　D中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为（-∞,0）∪（0,+∞）和（0,+∞）.

　　例4：设

　　在令t=cosx-1,得

　　又因为-1≤cosx≤1,所以有-2≤cosx-1≤0,即-2≤t≤0,从而有.

　　例5：

　　f(2)没有定义.注意求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中.

　　例6：函数是（）.A．偶函数B．有界函数C．单调函数D．周期函数

　　由于,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即（A）不正确.由函数在x=0,1,2点处的值分别为0,1,4/5,可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数.事实上,对任意的x,由,可得,从而有.可见,对于任意的x,有.

　　因此,所给函数是有界的,即应选择B.

　　例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）.

　　A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．奇偶性不确定

　　因为f(x+y)=f(x)+f(y),故f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),可知f(0)=0.在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x,得0=f(0)=f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)所以有f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,故应选A.

　　例8：函数的反函数是（）.A．B．C．D．

　　于是,是所给函数的反函数,即应选C.

　　例9：下列函数能复合成一个函数的是（）.

　　A．B．

　　C．D．

　　在(A)、(B)中,均有u=g(x)≤0,不在f(u)的定义域内,不能复合.在(D)中,u=g(x)=3也不满足f(u)的定义域,也不能复合.只有(C)中的定义域内,可以复合成一个函数,故应选C.

　　例10：函数可以看成哪些简单函数复合而成：

　　,三个简单函数复合而成.

　　第二章极限与连续

　　例1：下列数列中,收敛的数列是（）

　　A.B.C.D.

　　（A）中数列为0,1,0,1,……其下标为奇数的项均为0,而下标为偶数的项均为1,即奇偶数项分别趋于不同的常数值,从而可知该数列没有极限,是发散的.

　　由于,故（B）中数列发散.

　　由于正弦函数是一个周期为的周期函数,当时,并不能无限趋近于一个确定的值,因而（C）中数列也发散.

　　由于,故（D）中数列收敛.

　　例2：设,则a=()A.0B.1C.3D.1/3

　　假设=0,则所给极限为,其分子趋于∞,而分母趋于有限值3,所以极限为∞,不是1/5,因而≠0.

　　当≠0时,所给极限为,故应选C.

　　一般地,如果有理函数,其中、分别为n的k次、l次多项式,那么,当时,

　　当k=l时,f(n)的极限为、的最高次项的系数之比；

　　当k<l时,f(n)的极限为零；当k>l时,f(n)的极限为∞.

　　对于当x→∞（或+∞,－∞）时x的有理分式函数的极限,也有类似的结果.

　　例3.A.0B.1C.πD.n

　　解利用重要极限

　　,故应选C.

　　注：第一重要极限的本质是,这里的可以想象为一个空的筐子,里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）.

　　类似地,第二重要极限可以看作是,其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式.

　　例4.求解法1

　　解法2

　　解法3

　　例5.A.0B.1C.1/2D.1/4

　　由于,故应选D.

　　例6.

　　解:

　　注意本题属于“∞-∞”型,是个未定式,不能简单地认为它等于0或认为是∞,对于此类问题一般需要将函数进行通分,然后设法进行化简,进而求出其极限值.

　　例7.当x→0时,的（）.

　　A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低价无穷小量D.较低阶的无穷小量

　　由于

　　可知是x的同阶无穷小量,所以应选A.

　　例8.当等价的无穷小量是()A.B.C.D.

　　由于

　　可知的高阶无穷小量,同时等价的无穷小量,所以选D.

　　例9.下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是()

　　A.B.

　　C.D.

　　由于

　　所以应选A.

　　例10．要使函数在x=0处连续,f(0)应该补充定义的数值是()

　　A.1/2B.2C.1D.0

　　要使函数f(x)在x=0处连续,必须有因此要令f(0)=1.故应选C.

　　例11．设求k,使f(x)连续.

　　由于函数f(x)在（-∞,0）和（0,+∞）两区间内均由初等函数表示,而且在这两个区间内均有定义,因此在这两个区间内是连续的.函数是否连续取决于它在x=0处是否连续.要让f(x)在x=0处连续,必须

　　由于=

　　又由可知

　　例12．证明方程在区间（1,2）内必有一根.

　　证：令,由于f（x）是初等函数,它在区间（-∞,+∞）

　　上连续,另外f（1）=-1<1,f（2）=13>0,f（x）在[1,2]上连续,故由零点

　　存在定理知,存在在区间（1,2）内必有

　　一个根.

　　第三章导数和微分

　　例1：讨论函数

　　例2：

　　例3：分段函数处是否连续?是否可导?为什么?

　　例4：

　　例5：

　　例6：

　　例7：

　　例8：

　　例9：

　　例10：