第七章实数的完备性

　　目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础,并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系.

　　重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明,难点是实数完备性基本定理的应用.

　　第一节关于实数集完备性的基本定理

　　一区间套定理与柯西收敛准则

　　1区间套

　　定义1区间套:设是一闭区间序列.若满足条件

　　（1）对,有,即,亦即

　　后一个闭区间包含在前一个闭区间中；

　　（2）.即当时区间长度趋于零.

　　则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套.

　　区间套还可表达为:

　　,.

　　我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列和,其中递增,递减.

　　例如和都是区间套.但、

　　和都不是.

　　2区间套定理

　　定理7.1(区间套定理)设是一闭区间套.则在实数系中存在唯一的点,使对有.简言之,区间套必有唯一公共点.

　　证明（用单调有界定理证明区间套定理）

　　由假设（1）知,序列单调上升,有上界；序列单调下降,有下界.因而有

　　,..

　　再由假设（2）知

　　,

　　记.从而有

　　.

　　若还有满足,令,得.故是一切的唯一公共点.证毕.

　　注：这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：

　　（1）要求是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.如

　　.

　　显然有,但.

　　如果开区间套是严格包含：,这时定理的结论还是成立的.

　　（2）若,但,此时仍有,,但,于是对任意的,,都有.

　　全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,该定理刻划实数集是完备的.该定理也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.

　　推论设为一区间套,．

　　则当时,恒有．

　　用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论．

　　3数列的柯西收敛准则的证明

　　数列的柯西收敛准则：

　　数列收敛的充要条件是：,,当时,有．

　　（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）

　　证明必要性

　　设．由数列极限定义,,,当时有

　　,,

　　因而．

　　充分性按假设,,,使得对一切有,

　　即在区间内含有中除有限项外的所有项．

　　据此,令,则,在区间内含有中除有限项外的所有项．记这个区间为．

　　再令,则,在区间内含有中除有限项外的所有项．记

　　,它也含有中除有限项外的所有项,

　　且满足及．

　　继续依次令,照以上方法得一闭区间列,其中每一个区间都含有中除有限项外的所有项,且满足,,

　　即是区间套．由区间套定理,存在唯一的一个数（）．

　　现在证明数就是数列的极限．事实上,由区间套定理的推论,

　　当时,恒有．

　　因此在内含有中除有限项外的所有项,这就证得．

　　二聚点定理与有限覆盖定理

　　1聚点

　　定义2设是无穷点集.若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点,则称点为的一个聚点.

　　数集有唯一聚点,但；

　　开区间的全体聚点之集是闭区间；

　　设是中全体有理数所成之集,易见的聚点集是闭区间.

　　2聚点概念的另两个等价定义

　　定义对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即

　　,则称点为的一个聚点.

　　定义若存在各项互异的收敛数列,则其极限称为的一个聚点.

　　3以上三个定义互相等价的证明：

　　证：定义2定义显然成立．

　　定义定义由定义,取,；

　　再取则,且显然；

　　……

　　一般取则,且显然与互异；

　　……

　　无限地重复以上步骤,得到中各项互异的数列,

　　且由,易见．

　　定义定义2,,当时,必有

　　,且因各项互不相同,故内含有中无限多个点．[证毕]

　　4聚点定理

　　定理7.2(魏尔斯特拉斯聚点定理Weierstrass)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．

　　证因为为有界无限点集,故存在,使得,记．

　　现将等分为两个子区间．因为为有界无限点集,故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此区间为,则,且

　　．

　　再将等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此区间为,则,且

　　．

　　将此等分区间的手续无限地进行下去,得到一个闭区间列,它满足

　　,,

　　即是区间套,且每一个闭区间中都含有中无穷多个点．

　　由区间套定理,存在唯一的一个数（）．

　　于是由区间套定理的推论,当时,恒有．

　　从而内含有中无穷多个点,按定义2,为的一个聚点.

　　5致密性定理.

　　推论：任一有界数列必有收敛子列.

　　证设为有界数列．若中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的．

　　若中不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有

　　界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为．于是按定

　　义,存在的一个收敛的子列以为极限.

　　作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性

　　证明充分性

　　由已知条件：,,当时,有．欲证收敛．

　　首先证有界．取,则,有

　　特别地,时

　　设,则,

　　再由致密性定理知,有收敛子列,设.

　　对任给,存在,当时,同时有

　　,和

　　因而当取时,得到