即证勾股定理成立

　　勾股定理的证明

　　【证法1】（课本的证明）

　　做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

　　从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即

　　,整理得.

　　【证法2】（邹元治证明）

　　以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.

　　∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

　　∴∠AHE=∠BEF.

　　∵∠AEH+∠AHE=90º,

　　∴∠AEH+∠BEF=90º.

　　∴∠HEF=180º―90º=90º.

　　∴四边形EFGH是一个边长为c的

　　正方形.它的面积等于c2.

　　∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

　　∴∠HGD=∠EHA.

　　∵∠HGD+∠GHD=90º,

　　∴∠EHA+∠GHD=90º.

　　又∵∠GHE=90º,

　　∴∠DHA=90º+90º=180º.

　　∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.

　　∴.∴.

　　【证法3】（赵爽证明）

　　以a、b为直角边（b>a）,以c为斜

　　边作四个全等的直角三角形,则每个直角

　　三角形的面积等于.把这四个直角三

　　角形拼成如图所示形状.

　　∵RtΔDAH≌RtΔABE,

　　∴∠HDA=∠EAB.

　　∵∠HAD+∠HAD=90º,

　　∴∠EAB+∠HAD=90º,

　　∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.

　　∵EF=FG=GH=HE=b―a,

　　∠HEF=90º.

　　∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.

　　∴.

　　∴.

　　【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

　　以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.

　　∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

　　∴∠ADE=∠BEC.

　　∵∠AED+∠ADE=90º,

　　∴∠AED+∠BEC=90º.

　　∴∠DEC=180º―90º=90º.

　　∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,

　　它的面积等于.

　　又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

　　∴AD‖BC.

　　∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.

　　∴.

　　∴.

　　【证法5】（梅文鼎证明）

　　做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

　　∴∠EGF=∠BED,

　　∵∠EGF+∠GEF=90°,

　　∴∠BED+∠GEF=90°,

　　∴∠BEG=180º―90º=90º.

　　又∵AB=BE=EG=GA=c,

　　∴ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴∠ABC+∠CBE=90º.

　　∵RtΔABC≌RtΔEBD,

　　∴∠ABC=∠EBD.

　　∴∠EBD+∠CBE=90º.

　　即∠CBD=90º.

　　又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,

　　BC=BD=a.

　　∴BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S,则

　　,

　　∴.

　　【证法6】（项明达证明）

　　做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP‖BC,交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点

　　F作FN⊥PQ,垂足为N.

　　∵∠BCA=90º,QP‖BC,

　　∴∠MPC=90º,

　　∵BM⊥PQ,

　　∴∠BMP=90º,

　　∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.

　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,

　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,

　　∴∠QBM=∠ABC,

　　又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,

　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

　　从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

　　【证法7】（欧几里得证明）

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结

　　BF、CD.过C作CL⊥DE,

　　交AB于点M,交DE于点

　　L.

　　∵AF=AC,AB=AD,

　　∠FAB=∠GAD,

　　∴ΔFAB≌ΔGAD,

　　∵ΔFAB的面积等于,

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半,

　　∴矩形ADLM的面积=.