垂心,重心,外心三点共线,这条线叫欧拉线.

　　欧拉线

　　三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.

　　莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.他证明了在任意三角形中,以上四点共线.欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.

　　欧拉线的证明：

　　作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’

　　∵BD是直径

　　∴∠BAD、∠BCD是直角

　　∴AD⊥AB,DC⊥BC

　　∵CH⊥AB,AH⊥BC

　　∴DA‖CH,DC‖AH

　　∴四边形ADCH是平行四边形

　　∴AH=DC

　　∵M是BC的中点,O是BD的中点

　　∴OM=DC

　　∴OM=AH

　　∵OM‖AH

　　∴△OMG’∽△HAG’

　　∴G’是△ABC的重心

　　∴G与G’重合

　　∴O、G、H三点在同一条直线上

　　顺便指出任意三角形的垂心,重心,外心三点都共线