梅氏(Menlaus)定理

　　三角形ABC,及点D、E、F分别在直线AB、AC、BC的三点.

　　则D、E、F共线当且仅当(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1.

　　证明：

　　证法一：假设D、E、F共线,首先过点C作平行AB的直线交直线DFE於G.

　　相似三角形的线段比例；

　　有相似三角形AED、CEG,得CE/EA=CG/AD；

　　有相似三角形FDB、FGC,得BF/FC=DB/GC；

　　因此有(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=(DB/GC)(CG/AD)(AD/DB)=1.

　　相反地,假设(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1,延长EF交AB於点D'(如下图二)：

　　求证D、D'重合.由梅氏定理,得知(BF/FC)(CE/EA)(AD'/D'B)=1,所以得

　　(AD')/(D'B)=AD/DB,从而得(AD')/(AB)=(AD')/(AD'+D'B)=(AD)/(AD+DB)=AD/AB.

　　因此AD'=AD,即D与D'重合.

　　有兴趣的读者可以考虑以下的方法.

　　证法二：相似三角形的面积比例；

　　证法三：三角形的面积公式A=(absinC)/2.以下的网页有很多习题

　　梅涅劳斯定理与塞瓦定理