垂径定理解题应用举例

　　垂径定理推论一：对于一个圆和一条直线来说,如果具备下列五个条件中的任何两个,那么也具有其它三个：①垂直于弦,②过圆心,③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.（当以①、③为题设时,“弦”不能是直径.）

　　一、利用垂径平分弦所对的弧,来处理角的关系

　　例1(重庆市)如图1,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠EOD＝40°,则∠DCF等于（）

　　A.80°B.50°C.40°D.20°

　　二、利用垂径垂直平分弦,证相有关线段相等

　　例2如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由．

　　变式一：

　　变式二：

　　例3(南京市)如图2,矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E,GB＝8cm,AG＝1cm,DE＝2cm,则EF＝cm.

　　变式一：圆内两条互相平行的弦AB、CD,其中AB=16cm,CD=12cm,圆的半径为10,求AB、CD间的距离.

　　变式二：如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于E,若AE＝2cm,BE＝6cm,∠CEA＝30o,求：（1）CD的长；（2）│DH-CG│.

　　变式三如图,半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1,则＝（）

　　A、28B、26

　　C、18D、35

　　变式四如图5,在⊙O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,AB＝8cm,AC＝6cm,那么⊙O的半径OA的长（）

　　A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm

　　三、利用垂径定理,构造直角三角形,利用勾股定理解题

　　例3（长春市）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,图3是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

　　（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

　　（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径．

　　例4有一座圆弧形拱桥,桥下水面AB宽7.2m,拱顶CD高出水面2.4m.现有一艘宽EF为3m,船舱顶部为长方形并高出水面2m的船要经过这里,此船能顺利通过这座桥吗?

　　随堂练习

　　1、在半径为5cm的⊙O中,有一点P满足OP＝3cm,则过P的整数弦有条.

　　2、如图,⊙O中弦AB⊥CD于E,AE＝2,EB＝6,ED＝3,则⊙O的半径为.

　　3、等腰△ABC中,AB＝AC,∠A＝120o,BC＝10cm,则△ABC的外接圆半径为.

　　4、圆内一弦与直径相交成30o的角,且分直径为1cm和5cm两段,则此弦长为.

　　二、解答题：

　　1、如图,Rt△ABC中,∠C＝90o,AC＝3,BC＝4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E,求AB、AD的长.

　　2、如图,⊙O的半径为10cm,G是直径AB上一点,弦CD经过点G,CD＝16cm,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,求AE－BF的值.

　　3、如图,AB、AC为⊙O的两条弦,D、E分别为、中点,求证：AM=AN.