（1）取AB的中点设为H（字母任意）,连接OH和HC,∵OH=DC（这一步你可以稍微证下）且OH//DC,∴四边形OHCD为平行四边形,∴OD//HC,又HC在平面ABC内,所以OD//平面ABC（由直线与平面的判定定理可知,若平面外的一条直线与这个平面内的任意一条直线平行,那么这条直线平行于这个平面）

　　（2）这个想了很久,总算..想出了.准备工作：分别取AA1和BB1的中点E,F.连接EF和ED,DF.则可证得△EDF为等边三角形,且EF必过O点（详细证明过程你肯定知道）,∴OD⊥EF,先证明△A1DB是等腰三角形（A1D=DB）得到OD⊥A1B,又OD⊥EF,∴OD垂直平面A1B1BA,∴OD⊥AB1,又AB1⊥A1O,∴AB1⊥平面A1BD