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来自齐亚莉的问题

  (2003•黑龙江)已知:如图1,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交,易证FG=(AB+AC+BC).若:(1)BD、CE分别是△ABC的

  (2003•黑龙江)已知:如图1,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交,易证FG=(AB+AC+BC).

  若:(1)BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2);

  (2)BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线(如图3),

  则在图2、图3两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.

  

1回答
2020-05-16 21:03
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葛利

  (1)都是内角平分线时,可根据等腰三角形三线合一的特点来求解,由于DB平分∠ABC,且AF⊥BD,如果延长AF交BC于K,那么三角形ABK就是个等腰三角形,AF=FK,如果延长AG到H,那么同理可证AG=GH,AC=CH,那么GF就是三角形AHK的中位线,GF就是HK的一半,而HK=BK-BH=BK-(BC-CH),由于BK=AB,CH=AC,那么可得出FG=(AB+AC-BC);

  (2)证法同(1)先根据题目给出的求法,得出GD是AC的一半,然后按(2)的方法,通过延长AF来得出DF是(BC-AB)的一半,由此可得出FG=(BC+AC-AB).

  【解析】

  (1)猜想结果:如图结论为FG=(AB+AC-BC)

  证明:分别延长AG、AF交BC于H、K,

  在△BAF和△BKF中,

  ∵,

  ∴△BAF≌△BKF(ASA),

  ∴AF=KF,AB=KB

  同理可证,AG=HG,AC=HC

  ∴FG=HK

  又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC

  ∴FG=(AB+AC-BC)

  (2)图3的结论为FG=(BC+AC-AB).

  证明:分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K

  在△BAF和△BKF中,

  ∵,

  ∴△BAF≌△BKF(ASA),

  ∴AF=KF,AB=KB

  同理可证,AG=HG,AC=HC,

  ∴FG=KH

  又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB.

  ∴FG=(BC+AC-AB).

2020-05-16 21:06:03

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