已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与-查字典问答网

来自丁兆国的问题

　　已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=

　　已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

　　（1）如图1，当点D在边BC上时，

　　①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；

　　（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；

　　（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

1回答

2020-05-17 03:34

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郭利川

　　（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，

　　∴AB=AC，∠BAC=60°，

　　∵∠DAF=60°，

　　∴∠BAC=∠DAF，

　　∴∠BAD=∠CAF，

　　∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF，

　　在△ABD和△ACF中

　　AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

　　∴△ABD≌△ACF，

　　∴∠ADB=∠AFC，

　　②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．

　　（2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．

　　∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．

　　证明：∵△ABC为等边三角形，

　　∴AB=AC，

　　∠BAC=60°，

　　∵∠BAC=∠DAF，

　　∴∠BAD=∠CAF，

　　∵四边形ADEF是菱形，

　　∴AD=AF．

　　在△ABD和△ACF中

　　AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

　　∴△ABD≌△ACF．

　　∴∠ADB=∠AFC．

　　又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，

　　∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．

　　（3）补全图形如下图：

　　∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC

　　（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．

2020-05-17 03:37:50