4.1生活中的立体图形

　　1．常见的立体图形

　　(1)柱体

　　①棱柱：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个相邻的四边形的公共边互相平行,由这些面围成的几何体叫棱柱．如三棱柱、四棱柱、五棱柱等；

　　②圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边围绕它旋转形成的几何体叫做圆柱．

　　(2)锥体

　　①棱锥：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥．如三棱锥、四棱锥、五棱锥等；

　　②圆锥：以直角三角形一边所在的直线为旋转轴,其余各边围绕它旋转形成的几何体叫做圆锥．

　　(3)球体：半圆以它的直径为旋转轴,旋转而成的几何体叫做球体．

　　【例1】判断下列说法是否正确：

　　(1)柱体的上、下两个面不一样大()．

　　(2)圆柱、圆锥的底面都是圆()．

　　(3)棱柱的底面不一定是四边形()．

　　(4)圆柱的侧面是平面()．

　　(5)棱锥的侧面不一定是三角形()．

　　解析：柱体的上、下底面是平行且相等的(形状相同、大小相等),所以(1)错误；圆柱的上、下两个底面都是圆,圆锥的底面是圆,所以(2)正确；棱柱可以是三棱柱、四棱柱、五棱柱等,即棱柱的底面不一定是四边形,所以(3)正确；圆柱的侧面是曲面不是平面,所以(4)错误；棱锥的侧面一定是三角形,所以(5)错误．

　　答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×

　　2．立体图形的分类

　　立体图形

　　为便于理解与识记,形象地总结立体图形的分类如下：

　　【例2】下列图形中柱体的个数为()．

　　A．1B．2C．3D．4

　　解析：柱体的特点是它们的上、下底面是平行且相等的(形状相同、大小相等),由此判断①和②是柱体．

　　答案：B

　　3．多面体

　　(1)多面体的概念：围成棱柱和棱锥的面是平的面,像这样的立体图形叫做多面体．

　　如图,下列图形分别为：棱柱(长方体)、棱锥(三棱锥),它们均为多面体．

　　(2)正四面体：由四个完全一样的正三角形围成的空间图形称为正四面体,这些三角形的顶点、边分别称为正四面体的顶点、棱(相邻的三角形的公共边只算一条棱)．

　　(3)正六面体：类似的,组成正方体的每个正方形的顶点、边分别称为正六面体的顶点、棱(相邻的正方形的公共边只算一条棱)．

　　此外,还有正八面体、正十二面体和正二十面体,如图．

　　谈重点常见的多面体棱柱和棱锥都是多面体,圆柱、圆锥和球不是多面体．

　　【例3】一个棱柱的底面是五边形,它有几条侧棱,几个顶点?共有几个面?

　　分析：由已知易知该立体图形是五棱柱,结合图形回答问题即可．

　　它有5条侧棱,10个顶点,共有7个面．

　　析规律棱柱棱数、顶点数和面数的确定底面为n边形的棱柱有n条侧棱,2n个顶点,(n＋2)个面．

　　4．常见几何体的特征

　　几何体

　　底面

　　侧面

　　顶点数

　　圆柱

　　两个底面,平行,形状大小相等

　　曲面

　　无

　　圆锥

　　一个底面,是圆形

　　曲面

　　一个

　　棱柱

　　两个底面,平行,形状大小相等的多边形

　　平面

　　有

　　棱锥

　　一个底面,是多边形

　　平面

　　有

　　三棱柱的面数是5,顶点数是6,棱数是9；四棱柱的面数是6,顶点数是8,棱数是12；类似的,n棱柱的面数是n＋2,顶点数是2n,棱数是3n.

　　三棱锥的面数是4,顶点数是4,棱数是6；四棱锥的面数是5,顶点数是5,棱数是8；类似的,n棱锥的面数是n＋1,顶点数是n＋1,棱数是2n.

　　【例4】图中的两个几何体由几个面围成?面与面相交成几条线?它们是直的还是曲的?

　　(1)(2)

　　分析：仔细观察本题中的几何体,(1)是一个圆柱沿着它的高线纵切形成的．由于圆柱的侧面是曲面,所以此几何体的侧面也是曲面；(2)是一个六面体截去一个角形成的,组成该几何体的面全是平面．

　　图中的几何体(1)由4个面围成；面与面相交成6条线,它们中有4条直的,还有2条曲的．

　　几何体(2)由7个面围成；面与面相交成14条线,它们全部是直的．

　　5.欧拉公式

　　由正多边形顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的计算得出结论：

　　多面体

　　V

　　F

　　E

　　正四面体

　　4

　　4

　　6

　　正六面体

　　8

　　6

　　12

　　正八面体

　　6

　　8

　　12

　　正十二面体

　　20

　　12

　　30

　　正二十面体

　　12

　　20

　　30

　　由上表可知,多面体的顶点数、面数、棱数之间的关系式为：V＋F－E＝2,即顶点数＋面数－棱数＝2.伟大的数学家欧拉证明了这一公式,所以人们把它称为欧拉公式．

　　在利用公式“V＋F－E＝2”时,首先需正确判断出顶点数、面数和棱数中的两个．而多面体的面数是已知的,多面体的面数与多面体的名称一致,例如上表中四面体的面数是4,八面体的面数是8,十二面体的面数是12.所以只需知道顶点数和棱数中的一个,就可以求出另一个．

　　当正方体木块切去一块时,剩下的部分还是多面体,它们的顶点数、棱数、面数虽然会发生一些变化,但是三者之间的关系不变,仍然符合欧拉公式．

　　解技巧欧拉公式的应用解决多面体的棱、顶点、面之间的数量关系时,应用欧拉定理较为简便．要得到多面体的顶点数、棱数、面数之间的数量关系,可以具体分析表中的数据．

　　【例5】如图,图①是正方体木块,切去一块可能得到的图形为②,③,④,⑤的木块．

　　(一)我们知道,图①的正方体木块共有8个顶点,12条棱,6个面．请你将图②,③,④,⑤中的木块的顶点数、棱数、面数填入下表．

　　图